Մանդելբրոտը և Julուլիան սահմանում են ESP32- ում ՝ 4 քայլ (նկարներով)

2024 Հեղինակ: John Day | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-30 09:47

Դուք հաստատ գիտեք ֆրակտալներ, որոնցից ամենահայտնին Մանդելբրոտի հավաքածուն է:

Ահա մի ծրագիր, որի հետ կարելի է խաղալ ESP32- ով: Ես ընտրեցի ESP32- ը, որովհետև կարծում եմ, որ այն ավելի արագ կկատարի հաշվարկները, քան սովորական Arduino- ն (ժամացույցի ավելի բարձր հաճախականությունը ՝ 240 ՄՀց).

Կոդը ցուցադրվում է 480 x 320 TFT սենսորային էկրանին: Այն հաշվարկում է Մանդելբրոտի և Julուլիայի պարամետրերը մի քանի պարամետրերի արժեքների համար և թույլ է տալիս մեծացնել հետաքրքրության ոլորտները ՝ ֆրակտալային կողմը տեսնելու համար (այսինքն ՝ յուրաքանչյուր սանդղակի փոփոխության դեպքում նույն կառույցների առկայությունը): Մեծացման մակարդակը սահմանափակ է `հաշվարկների սահմանափակ ճշգրտության պատճառով, սակայն կես տասնյակ խոշորացում կարելի է կատարել մինչև պատկերի դեգրադացիան:

Պատրաստվեք ուսումնասիրել ֆրակտալների կախարդական աշխարհը…

Քայլ 1. Ի՞նչ են Մանդելբրոտը և Julուլիա Սեթսը:

Մանդելբրոտի հավաքածուն անվանվել է ֆրանսիացի և ամերիկացի մաթեմատիկոս Բենուա Մանդելբրոտի (1924-2010) անունով, ով ֆրակտալ երկրաչափությունում կատարել է պիոներական աշխատանք, որը նախաձեռնվել է 19-րդ դարի վերջին, ի թիվս այլոց, Պեանոյի, Սիերպինսկու և Julուլիայի կողմից:

Ի՞նչ են ֆրակտալ առարկաները:

Բնության անկանոնությունները, որոնք կարող են քաոսային թվալ, ինչպիսիք են ծովի ափի գիծը, ամպերի ձևը, ծառը, իրականում փոփոխվող մասշտաբով շատ բարդ երկրաչափության արտահայտություն են: Այս համատեքստում կոտորակային չափի հասկացությունը փոխարինում է սովորական Էվկլիդեսյան չափման (որը միշտ ամբողջ թիվ է) հասկացությանը:

Ֆրակտալ օբյեկտն այնպիսին է, որ դրա ցանկացած մասը նույնական է ամբողջին (սա կոչվում է ինքնանմանություն). Դրա կառուցվածքը անփոփոխ է սանդղակի փոփոխությամբ:

«Ֆրակտալ» տերմինը նորաբանություն է, որը ստեղծվել է Բենուա Մանդելբրոտի կողմից 1974 թվականին, լատինական fractus արմատից, որը նշանակում է «կոտրված», «անկանոն»: Դա և՛ գոյական է, և՛ ածական: Բնական շատ երևույթներ, ինչպիսիք են ափամերձ գծերի ուրվագիծը կամ Ռոմանեսկոյի կաղամբի տեսքը (տես նկարը), ունեն մոտավոր ֆրակտալ ձևեր:

Բենուա Մանդելբրոտի գործունեությունը մի փոքր անտիպ կարիերա ուներ. Լիլի համալսարանում (Ֆրանսիա) դասավանդելուց հետո նա զբաղեցրեց պաշտոն IBM- ում, որտեղ նա արագ դարձավ IBM- ի անդամ, ինչը նրան մեծ ազատություն տվեց իր գիտական ուսումնասիրությունների համար: 1980 -ականների սկզբին, IBM- ից հեռանալուց հետո, նա դարձավ Հարվարդի պրոֆեսոր, բայց մշտապես հաստատվեց Յեյլում:

Նրա աշխատանքը 1960 -ականներին և 1970 -ականների սկզբին ստիպեց նրան հրապարակել «Ֆրակտալ օբյեկտներ» վերնագրով հայտնի հոդվածը, որտեղ նա ցույց տվեց, որ այս առարկաները, որոնք մաթեմատիկական համայնքի մեծ մասի կողմից դիտվում են որպես պարզապես հետաքրքրություններ, ամենուր գտնվում են բնության մեջ: Նա բազմաթիվ օրինակներ բերեց տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են ֆիզիկան, հիդրոլոգիան, ֆինանսները, օդերևութաբանությունը, աշխարհագրությունը, երկրաբանությունը, մետաղագործությունը …:

Ի՞նչ է Mandelbrot հավաքածուն:

Սկսենք, ասենք, որ դա գեղեցիկ նկար է, որը ստեղծվել է ծրագրի կողմից: Եվ այս ծրագիրը բավականին պարզ է: Գոյություն ունեն բազմաթիվ համակարգչային գծանկարներ և դրանք ստեղծելու բազմաթիվ համակարգչային ծրագրեր: Այսպիսով, ինչո՞վ է առանձնահատուկ այս մեկը: Նախ, Մանդելբրոտի հավաքածուն պլանի ենթաբազմություն է, միավորների հավաքածու: Այն պարունակում է տարածքներ, բայց նաև հարթ կորեր, թելեր, կետեր, որոնցից բխում են բազմաթիվ ճյուղեր և այլ իրեր: Երկրորդ. Դա իսկապես գրավիչ է և ունի շատ հետաքրքիր պատմություն:

20-րդ դարի սկզբին ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Պիեռ Ֆաթուն և Գաստոն Julուլիան մաթեմատիկայի ենթաոլորտ են մշակել, որը կոչվում է հոլոմորֆիկ դինամիկա: Նրանք հետաքրքրված էին որոշակի գործառույթներով ՝ գործելով թվերի վրա ՝ օգտագործելով առկա ամենապարզ բանաձևերը: Քննարկվող թվերը բարդ թվեր են, մեծություններ, որոնք ներկայացված են երկու կոորդինատներով (ճիշտ այնպես, ինչպես հարթության կետերը), որոնք կոչվում են իրական և երևակայական մասեր: Դրանք հորինվել են 16 -րդ դարում մաթեմատիկոսների կողմից ՝ բազմանդամների արմատներն ու հավասարումների լուծումը գտնելու համար, սակայն լայն և խորը կիրառություններ են գտել մաթեմատիկայում և ֆիզիկական գիտություններում: Մենք կարող ենք ավելացնել 2 բարդ թվեր, բազմապատկել կամ բաժանել դրանք, և անել շատ այլ բաներ: Ֆաթուն և Julուլիան ուսումնասիրեցին որոշակի դինամիկ համակարգերի հատկությունները, որտեղ բարդ թիվը տատանվում է անընդհատ կրկնվող պարզ կանոնի համաձայն. Այստեղ բարդ մաթեմատիկայի կարիք չկա: (Այսպիսով, դուք կարող եք մոռանալ առաջին պատկերը …): Նրանք բացահայտեցին այս համակարգերի հարստությունը, սահմանեցին այն հավաքածուները, որոնք այժմ կոչվում են Julուլիայի հավաքածուներ, և ուսումնասիրեցին դրանց նմանությունը, հետևաբար ՝ ֆրակտալ կողմը …

Հիմնադիրների աշխատանքից հետո այս տիրույթը մոռացության մատնվեց: Երբ համակարգիչները եկան, նրանք օգնեցին ուսումնասիրել ինտենսիվ հաշվարկ պահանջող շատ մաթեմատիկական երևույթներ, ներառյալ Julուլիայի և Ֆաթուի բացած տիրույթը: Այսպիսով, երբ Բենուա Մանդելբրոտը 1980 -ականներին որոշեց օգտագործել IBM համակարգիչները ՝ հոլոմորֆիկ դինամիկայի հետ կապված որոշակի մաթեմատիկական հավաքածու ներկայացնելու համար:, նա ստացավ շատ գրավիչ և շատ հետաքրքրաշարժ նկար (նախորդ հատվածի առաջին նկարը):

Ի՞նչ է ներկայացնում Մանդելբրոտի հավաքածուն: Հիմնականում կա հիմքում ընկած դինամիկ համակարգ, որը կապված է պատկերի յուրաքանչյուր կետի հետ: Կետի կոորդինատները հանդես են գալիս որպես կարգավորելի պարամետր: Տարբեր կետեր համապատասխանում են Julուլիայի տարբեր հավաքածուներին և կախված նրանց պահվածքից, մենք կարող ենք որոշել կետը գունավորել որոշակի ձևով: Mandelbrot հավաքածուն այն պարամետրերի ամբողջությունն է, որոնց համար համակարգը ունի որոշակի հատկություն:

Ինչպե՞ս հաշվարկել Մանդելբրոտի և Julուլիայի հավաքածուները:

Մենք պետք է մի փոքր ավելի մանրամասն գնանք, թե ինչպես հաշվարկել այս հավաքածուները: Մանդելբրոտի և Julուլիայի հավաքածուները հաշվարկվում են պարզ բանաձևի կրկնվող կրկնությամբ ՝ մեր դեպքում z^n+c: z- ը բարդ թիվ է, որը ներկայացնում է ցուցադրման կետի կոորդինատները: ամբողջ թվային ցուցիչ է, ուստի z^n- ը հավասար է z- ին բազմապատկած n անգամ, իսկ c- ն հաստատուն է:

Mandelbrot- ի հավաքածուի համար ցուցադրման տարածքի բոլոր կետերի համար մենք նախաստորագրում ենք z- ը 0: c հաստատունն ընդունվում է համարվող կետի կոորդինատների արժեքին հավասար, և բանաձևը կրկնվում է:

Ահա կանոնը. Կետը բազմության մի մասն է, եթե այս բանաձևի կրկնվող կիրառումը չի շեղվում (այսինքն ՝ չի հանգեցնում մեծ թվերի հաշվարկների): Մաթեմատիկորեն կարելի է ցույց տալ, որ եթե բանաձևի արդյունքը գերազանցի 2 -ը (մոդուլում, քանի որ մենք խոսում ենք բարդ թվերի մասին), ապա կրկնումը կտարբերվի: Այսպիսով, գեղեցիկ գույներ արագ ստանալու համար մենք դադարեցնում ենք կրկնությունը, երբ արդյունքի մոդուլը գերազանցում է 2 -ը, և գույնը համապատասխանում է տվյալ կրկնության թվին: Եթե կրկնությունների թիվը չափազանց մեծ է դառնում (այնպես որ, եթե կետը Մանդելբրոտի հավաքածուի մաս է), մենք կանգ ենք առնում տվյալ շեմից հետո և սև գույնը կապում այս կետի հետ:

Julուլիայի հավաքածուն հաշվարկվում է նույն ձևով, բայց հաշվարկները չեն սկզբնավորվում 0 -ով, այլ դիտարկվող կետի կոորդինատների արժեքով, իսկ հաստատուն c- ն ընտրվում է օգտագործողի կողմից և նույնն է մնում ամբողջ պատկերի համար:

Վերջ, հույս ունեմ, որ պարզ է … Այս բացատրություններն օգնում են ավելի լավ հասկանալ օգտագործման մնացած հրահանգները:

Քայլ 2: Ի՞նչ է ձեզ անհրաժեշտ:

Նյութի հաշիվ.

• 1 ESP32 տախտակ
• 1 TFT էկրան ՝ սենսորային և գրիչով
• 1 տախտակ և լարեր

Վերջ: Ընդհանուր արժեքը `մինչև 10 ԱՄՆ դոլար:

Espressif- ի ESP32- ը երկակի միջուկային միկրոկառավարիչ է, որն աշխատում է 240 ՄՀց հաճախականությամբ, ինչը նրան դարձնում է արագ և բարդ կրկնվող հաշվարկման լավ թեկնածու: Այն ունի WiFi և Bluetooth հզորություններ, որոնք ես չեմ օգտագործում այս նախագծում:

Հրահանգների հավաքածուն ունի 32 բիթ չափ: 16 և 32 բիթանոց փոփոխականներով հաշվարկելը շատ արագ է, ինչը հնարավորություն է տալիս ճշգրիտ հաշվարկներ կատարել, ինչը հիմնարար նշանակություն ունի խոշորացման նպատակով: Այս հավելվածում, 320 x 240 էկրանին, պատկերը մոտավորապես կազմված է 75, 000 պիքսելից, որոնցից յուրաքանչյուրը հաշվարկվում է կրկնող գործընթացի միջոցով, որը կարող է տևել մինչև 100 անգամ: Սա կարող է հանգեցնել 7,500,000 միավորային հաշվարկների, որոնցից յուրաքանչյուրը արագացում է, այսինքն ՝ մի քանի բազմապատկում…

Այսպիսով, այստեղ հաշվարկի արագությունը էական է, բայց ճշգրտությունը `հիմնարար: Որքան շատ եք մեծացնում, այնքան փոքր է ցուցադրվող հավաքածուի չափը: Սա նշանակում է, որ պատկերի 320 x 240 պիքսելներից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է մի թիվ, որը շատ մոտ է իր հարևաններին: Մեծացմանը զուգընթաց մեծանում է այս հարևանությունը:

Բայց ֆրակտալ պատկերներն ունեն այս հատկությունը, որ դրանք անփոփոխ են մնում մասշտաբավորմամբ: Այսպիսով, փոքր մանրամասները հայտնվում են ամենուր և ցանկացած մասշտաբի գործոնի համար: Մանդելբրոտի հավաքածուի հիմնական ձևը, ինչպես երևում է վերը նշված նկարի վրա, կարելի է գտնել այլուր ՝ շատ ավելի փոքր տարբերակով, և կցուցադրվի, եթե բավականաչափ մեծացնեք (տես տեսանյութում): Բայց եթե երկու հարևան պիքսելների կոորդինատային տարբերությունը չափազանց փոքր է, որպեսզի ESP32- ը կարողանա նկատել իրենց վարքի տարբերությունը, ճշգրտության բացակայության պատճառով, ֆրակտալային էֆեկտը չի կարող ցուցադրվել…

Լավ ճշգրտություն ստանալու համար ծածկագիրը օգտագործում է բոցեր, որոնք EPS32- ի կողմից կոդավորված են 32 բիթով: Սա հնարավորություն է տալիս մեծացնելու մինչև 6 կամ 7 մակարդակ: Կրկնակի ճշգրտության (64 բիթ) օգտագործումը կբարձրացներ խոշորացման այս խորությունը ՝ ավելի դանդաղ հաշվարկների գնով, հետևաբար ավելի երկար ժամանակ երկու պատկերների միջև:

Կրկնակի ճշգրտություն մտցնելու համար պարզապես փոխեք «float» - ի բոլոր երևույթները կոդի մեջ «կրկնապատկելու» և գործարկեք ծածկագիրը: Վերջերս ես պատրաստեցի ավելի մեծ ցուցադրման տարբերակ (HVGA 480 x 320 պիքսել). 16 բիթանոց բոցը 3 վայրկյան տևում է պատկերը ցուցադրելու համար, իսկ կրկնակի կրկնությունը տևում է 10 -ից 20 վայրկյան (3 -ից 6 անգամ ավելի երկար), բայց ապահովում է ավելի քան 15 խոշորացման մակարդակ:. Այս գլխի երրորդ պատկերը ցույց է տալիս Մանդելբրոտի հավաքածուի աջ մասի խոշորացման 14 մակարդակը:

Ինչպես միացնել էկրանը

Ես օգտագործել եմ SPI էկրան, և պարամետրերը դրված են User_Setup.h ֆայլում (TFT_eSPI գրադարանի թղթապանակում).

• Վարորդ. Մեկնաբանեք ձեր ցուցադրման ճիշտ վարորդը: Իմը #սահմանեց RPI_ILI9486_DRIVER

• Պին համարներ. Անցեք ֆայլի ESP32 բաժին և ընտրեք

  • #սահմանի TFT_MISO 19
  • #սահմանի TFT_MOSI 23
  • #սահմանի TFT_SCLK 18
  • #սահմանել TFT_CS 15 // Չիպի ընտրման կառավարման քորոց
  • #սահմանել TFT_DC 2 // Տվյալների հրամանի կառավարման քորոց
  • #սահմանել TFT_RST 4 // Վերակայել քորոցը (կարող է միանալ RST կապին)
  • #սահմանեք TOUCH_CS 22 // սենսորային էկրանի չիպի ընտրված քորոց (T_CS)
• Տառատեսակներ. Դրանք փոխելու կարիք չկա

• Այլ ընտրանքներ. Ես ընտրեցի հետևյալը

  • #սահմանեք SPI_FREQUENCY 20000000
  • #սահմանեք SPI_READ_FREQUENCY 20000000
  • #սահմանեք SPI_TOUCH_FREQUENCY 2500000

Ֆայլի մնացած բոլոր տողերը մեկնաբանվում են:

Կալիբրացրեք ցուցադրման հպման ունակությունը

Եթե էկրանի հատվածի կամ կոճակի ընտրությունը ճշգրիտ չէ, կամ նույնիսկ ամբողջովին սխալ, գործարկեք հպման չափագրման ուրվագիծը TFT_eSPI գրադարանից և պատճենեք / տեղադրեք այն մատուցման ծածկագրում (համոզվեք, որ ցուցադրման կողմնորոշման համար օգտագործեք ճիշտ արժեքը, 1 կամ 3 լանդշաֆտի համար):

Քայլ 3: ESP32 ծրագիր

Կոդը ցուցադրվում է 320 x 240 TFT սենսորային էկրանին և օգտագործում է TFT_eSPI գրադարանը: Այն հաշվարկում է Մանդելբրոտի և Julուլիայի սահմանած մի քանի ցուցիչների արժեքները և թույլ է տալիս մեծացնել հետաքրքրության ոլորտները ՝ ֆրակտալային կողմը տեսնելու համար (այսինքն ՝ նույն ստրուկտուրաների առկայությունը յուրաքանչյուր մասշտաբի փոփոխության ժամանակ):

Կից ծածկագիրը 480 x 320 ցուցադրման տարբերակ է: Այս տարբերակում կարող եք փոխել ցուցադրման չափը (պիքսելներում լայնությունը և բարձրությունը): TFT_eSPI գրադարանը սահմանում է կարգավորումները տեղադրված ֆայլի (կցված) կապերը, որոնք պետք է տեղադրվեն գրադարանի գրացուցակում:

Կոդը սկսվում է `ցուցադրելով շահագործման հրահանգները (տես նկարը և տեսանյութը):

Էկրանի մեծ մասը վերապահված է պատկերներ ցուցադրելու համար, հպման կոճակները հասանելի են էկրանի աջ կողմում.

• R: կատարում է «վերականգնում», i. ե. ցուցադրում է պատկերը իր առավելագույն մասշտաբով,
• U: «հետարկել» -ը թույլ է տալիս վերադառնալ նախորդ քայլին (եթե խոշորացված հատվածը հետաքրքիր չէ, կարող եք մեծացնելու պատկերի մեկ այլ հատված),
• M կամ J: թույլ է տալիս անցնել Մանդելբրոտի հավաքածուից դեպի Julուլիայի հավաքածու և հակառակը:

Որոշ ստեղների պիտակները փոխվում են ըստ համատեքստի. Դրանք ցուցադրում են այն գործառույթը, որը սեղմված լինելու դեպքում կկատարվի: Այսպիսով, եթե ներկայումս ցուցադրում եք Mandelbrot- ի հավաքածուն, M/J ստեղնը ցուցադրում է J- ն, եթե այն սեղմելու դեպքում կցուցադրվի Jul ուլիայի հավաքածուն (և հակառակը):

Նույնը վերաբերում է գունային պալիտրա ընտրությանը: Մենք սկսում ենք կանաչ ներկապնակով: Բանալին առաջարկում է հաջորդ ներկապնակը (կապույտը): Ներկապնակներն են ՝ կարմիր, կանաչ, կապույտ, մոխրագույն, ներկապնակ 1, ներկապնակ 2 և հետադարձ կարմիր: Վերջին երկուսը պալետի բազմագույն թեստեր են, որոնք ապահովում են ավելի շատ հակադրություն, ինչը թույլ է տալիս ավելի լավ տեսնել որոշ մանրամասներ:

Թվով ստեղնը թույլ է տալիս ընտրել ցուցիչ n- ը ՝ 2 -ից 7 -ի օղակում (և հետադարձ դեպի 2): Նույն ոգով, այն ցույց է տալիս 3 -ը, եթե դուք այժմ գտնվում եք 2 -ում…

Ի վերջո, Julia հավաքածուն ցուցադրելիս անհրաժեշտ է ընտրել հաստատունի արժեքը. C ստեղնը թույլ է տալիս դա անել ընտրողի շնորհիվ (տես երկրորդ նկարը): Այս հաստատունի արժեքը ցուցադրվում է հավաքածուի հետ:

Սեղմելով պատկերի վրա ՝ մեծացնում է ընտրված կետի շուրջը: Փոքր շրջանակը ցուցադրվում է հպված կետում, իսկ ուղղանկյունը ընդգծում է հավաքածուի խոշորացված գոտին:

3 -րդ նկարը ցույց է տալիս, որ հաշվարկի ժամանակը մնում է 0,8-1,2 վայրկյանի միջև 320 x 240 պիքսելների համար, ինչը հարմարեցնում է խոշորացումը և ցուցադրումը: Այն հասնում է 3 վայրկյանի 480 x 320 պիքսելների համար, բայց տալիս է ավելի շատ մանրամասներ:

Քայլ 4: Բացատրված որոշ նկարներ…

Ամենամեծ պատկերը հայտնի Մանդելբրոտի հավաքածուն է: Այս պատկերի մեջ օգտագործված բարդ թվերը տատանվում են -2.1 -ից +0.7 -ի աբսիսսայում, իսկ -1.2 -ից 1.2 -ը `օրդինատում: Եթե մեծացնում եք այս առաջին պատկերի ձախ հատվածը, ապա հավանական է, որ վերջապես ստանաք երկրորդը, որը ցուցադրում է սկզբնական հավաքածուի ավելի փոքր տարբերակը, որը գտնվում է հավաքածուի ձախից-ծայրում: Այս երկու պատկերների համար էլ ցուցիչը ('n') հավասար է 2 -ի. Դա այն արժեքն է, որը սովորաբար օգտագործվում է Մանդելբրոտի հավաքածուները ցուցադրելու համար:

Եթե դուք փոխեք այս արժեքը 3 -ի (պարզապես կտտացրեք 3 ասող բանալին), կստանաք երրորդ պատկերը: Մեկ ակնհայտ տարբերություն սիմետրիայի գործոնն է. N = 2 տալիս է առանցքային համաչափություն (այսինքն ՝ հավաքածուն սիմետրիկ է միջին հորիզոնական առանցքի դեմ), բայց n = 3 -ով պատկերն անփոփոխ է դառնում 120 ° պտույտով (360 ° -ի մեկ երրորդը, պտույտ) համաչափության գործակից 3): Եվ այն պահպանում է իր ֆրակտալային հատկությունները, որոնք կարող եք ստուգել ՝ մեծացնելով սև ձևի եզրերին:

4 -րդ պատկերը Julուլիայի հավաքածու է, որը ձեռք է բերվել աբսցիսում 0,414 -ի և օրդինատում 0,09 -ի արժեք ընտրելուց հետո: Կարմիր ներկապնակն ընտրված է, ինչպես դա երևում է աջ կողմում գտնվող կանաչ ստեղնից (կանաչը, որը ընտրվելու է հաջորդ գույնը): Հինգերորդ պատկերը ցուցադրում է նույն տեսակի Julուլիա հավաքածուն, որը հաստատունի ավելի բարձր երևակայական մասն է (0.358):

Հուսով եմ, որ ձեզ դուր կգա այս ծրագրի հետ խաղալը և կկարողանաք ցուցադրել գեղեցիկ ֆրակտալ պատկերներ: Մի հապաղեք ուսումնասիրել Մանդելբրոտի և Julուլիայի հավաքածուները և խաղալ գունապնակների հետ. Դրանք օգնում են բացահայտել որոշ մանրամասներ, որոնք հնարավոր է տեսանելի չլինեն պարզ մոնոխրոմի դեպքում: Դուք նույնիսկ կարող եք բացահայտել որոշ ֆրակտալ բնապատկերներ, որոնք ոչ ոք չի տեսել ձեզանից առաջ…

_

Ուզու՞մ եք ավելի շատ ֆրակտալ պատկերներ հայտնաբերել: Պարզապես կտտացրեք այստեղ կամ ուսումնասիրեք ֆրակտալ արվեստը կամ նույնիսկ ասցի ֆրակտալը: Հնարավոր է, որ այս ուսանելիը ձեզ մղի նման հիանալի պատկերներ ստեղծելու ցանկության…

Երկրորդ մրցանակ ՝ Made with Math մրցույթում